Mathe erklärt die Welt und macht Spaß

Also, mir zumindest.

Es gibt in Zusammenhang mit der Coronaepidemie viele Schätzwerte und Vermutungen. Tests können fehlerhaft sein, zu Beginn der Epidemie in D. gab es sehr wenig Testkapazitäten, daher wurden zunächst praktisch nur Verdachtsfälle getestet, und das allein kann schon sehr große Ungenauigkeiten erzeugen. Erstens sind die Verdachtsfälle, also Menschen mit Symptomen, Menschen, die z.B. auch eine Erkältung haben können, so dass die Zahl der Verdachtsfälle nicht notwendigerweise proportional zur Anzahl der Infizierten ist, dann steigt bei Covid-19 die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Symptome entwickelt, mit zunehmenden Alter. Wenn man weiß, welcher Prozentsatz bei jeder Alterklasse Symptome zeigt, könnte man das theoretisch zurückrechnen, aber erstens werden diese Prozentsätze derzeit noch geschätzt, und zweitens funktioniert das nur, wenn die Altersverteilung der Infizierten entweder bekannt ist – was sie nicht ist – oder, wenn man annehmen könnte, dass sie ungefähr der Gesamtbevölkerung entspricht. Was sie zumindest am Anfang eher nicht tat. Wenn Leute aus dem Ski-Gebiet mit Corona nach hause kommen, sind das eher wenig Rentner, und sie stecken auch erst eher wenig Rentner an. Inzwischen ist das anders, so dass die Zahl der Symptomatiker inzwischen vllt. schneller gestiegen ist als die der Infizierten insgesamt. Heißt aber im Umkehrschluss, dass die Zahl der Infizierten zu Anfang schneller stieg als die der Verdachtsfälle.

Weiterhin, weil Infizierte, wenn überhaupt, erst nach ein paar Tagen Symptome entwickeln (aber in der Zeit trotzdem ansteckend sind), und wenn sie Symptome entwickeln, nicht sofort zu Arzt gehen, und weil die Tests ja auch Zeit brauchen, haben Statistiker den glorreichen Job, anhand der Testzahlen den Infektionszeitpunkt zurückzurechnen. Man beachte, dass die Kriterien, nach denen getestet wurde, sich auch veränderten, so dass das Testverfahren schon selbst eine Ungenauigkeit verursacht, ein „Artefakt des Messverfahrens“; auch dies wird man natürlich versuchen, rauszurechnen, aber das nur als Hinweis, dass ich kein autoritätshöriger Idiot bin, der Zahlen unreflektiert übernimmt.

Und aus den Infektionen je Tag, die mit viele Schätzungen, Daumenwerten und von-bis-Zahlen ermittelt wurden, macht sich das Robert-Koch-Institut (RKI) daran, die effektiven Reproduktionszahlen des Virus in den letzten Wochen zu ermitteln. Die Grauzonen stellen die Ungenauigkeiten dar.

Der folgende Graph basiert auf einer geschätzten Generationsdauer von vier Tagen (Quelle):

Heißt, wenn in vier Tagen 100 Leute infiziert wurden, in den vier Tagen danach aber 333, ist die Reproduktionszahl 3,33. Dieser Wert gilt für ein viertägiges Intervall und wird dem letzten der acht Tage zugeordnet. Das RKI sagt gleichzeitig, dass die Dauer einer Generation auch von der Reproduktionszahl abhängig ist, was die Sache noch komplizierter macht.

Aber, um das zu vereinfachen: Solange R größer 1 ist, steigen die Infiziertenzahlen exponentiell, wenn sie 1 ist, sind sie konstant, weil: 1 hoch n ist 1, und wenn R kleiner als Eins ist, sinken die Zahlen. Das heißt, die meisten Infizierte gab’s am 21.3., weil da R = 1 war, und seitdem – diverse Ungenauigkeiten vorbehalten – kleiner als 1 ist. WEIL die Infiziertenzahlen bis dahin stiegen, ist es sowieso Blödsinn zu sagen, die Maßnahmen, die danach ergriffen wurden (Kontaktverbot am 23.3.), wären sinnlos. Mal abgesehen davon, dass diese Zahlen erst rückwirkend ermittelt wurden: wenn das Wasser immer weiter steigt oder das Feuer sich immer weiter ausbreitet, ist der Punkt, wo Wasser und Feuer aufhören, schlimmer zu werden, ja nicht das Ende der Katastrophe. Bei einem Hochwasser werden immer noch Sandsäcke gebraucht, damit die Deiche nicht doch noch brechen, und bei Waldbrand wird weiter gelöscht.

WAS man vllt. diskutieren kann und tut, ist, dass vllt. schon die Maßnahmen von VOR dem 23.3. ausreichten. Nur waren neben den offiziellen Verboten da auch viele freiwillige Sachen bei, weiterhin, ohne Verbote hätten viele Angestellte keinen Rechtsanspruch auf Kontaktsperren, wenn der Arbeitgeber irgendwann beschließt, kein Home-Office mehr zu erlauben, und drittens ist die effektive Basisreproduktionszahl, mit vielen Ungenauigkeiten ermittelt, nur knapp unter eins. Wenn jetzt einige Lockerungen eingeführt werden, aber dafür die Atemschutzmaskenpflicht kommt, kann es passieren, dass das schon wieder zu einer leichten Erhöhung von R führt, und das bedeutet instant exponentiales Wachstum. 1,01 hoch n ist größer als 1,01 bei allen n größer 1.

Was man aber nicht diskutieren sollte, ist die Frage, ob die Krise vorbei sei, weil der Lockdown „keine Wirkung“ oder „nichts gebracht“ habe. Erstens, auch wenn es zahlenmäßig schwer zu bestimmen ist, wie effektiv eine bestimmte Maßnahme war – „Der Stopp der Bundesliga reduzierte R um 0,25!“ wäre relativer Quatsch – die Wirksamkeit ist Stand von Wissenschaft und Forschung. Man diskutiert ja auch nicht, dass man Deiche mit Sandsäcken stabilisiert und Feuer mit Wasser löscht. Zweitens, wenn R nicht kleiner wird, sondern sich knapp unter 1 einpendelt (mit einer Unsicherheit, bei der sie auch schon wieder über 1 liegen könnte), dann werden die Infizierten ja genau nicht weniger, sondern für jeden Genesenden wird jemand infiziert.

Das Hauptproblem ist aber die Behauptung, die Epidemie sei vorbei. Nein. Ist sie nicht. Es hat in D. aufgehört, schlimmer zu werden, aber nicht von allein, wie ein Hochwasser, sondern mit aktiven Gegenmaßnahmen, wie ein Waldbrand, gegen den eine Hundertschaft Feuerwehrleute im Einsatz ist. „Hundertschaft“, pah: mit massiven Einschränkungen, wie man sie seit hundert Jahren bei keiner Grippe mehr ergreifen musste, und die eigentlich nur eine moderne, technologisch optimierte Gesellschaft wie unsere stemmen kann, wird diese Epidemie hier gebändigt. Nicht besiegt. (Und ja, das „Wording“ ist Absicht.)

Um das mathematisch zu beschreiben: wenn das wie eine Krankheitswelle sonst auch verlaufen würde, gibt es eine Phase exponentiales Wachstum (Reff >1), bis die Herdenimmunität erreicht ist, eine Phase, bei der der Infiziertenstand ungefähr gleich bleibt (Reff = 1), und eine Phase, in der die Infiziertenzahlen abnehmen (Reff < 1). So richtig gleichmäßig sind diese Kurven in der Wirklichkeit dann doch nicht, z.B. weil manche Viren Reproduktionszahlen haben, die von der Außentemperatur abhängig sind: bei „Erkältungswetter“ ist R gerade über 1 und das Erkältungsvirus verbreitet sich exponential, und wenn das Wetter vorbei ist, geht auch die Erkältungswelle vorbei, ohne dass die Herdenimmunität erreicht wurde. Keine Ahnung, ob das bei Covid-19 so ist, das nur als Hinweis, dass es neben der Durchseuchung einerseits und Schutzmaßnahmen andererseits noch Faktoren gibt, die den Verlauf der Seuche verändern könnten.

Aber bleiben wir bei dem Szenario, dass die Krise, und also die Epidemie, zumindest in D. vorbei sei. Demzufolge gibt es eine nennenswert große Gruppe an Covid-19-Immunen – wieso und warum, sei dahingestellt, aber die schiere Möglichkeit sei mal unbestritten – und/oder die tatsächliche Zahl der Covid-19-Infizierten ist viel höher als gedacht – wieso und warum ist wohl der sehr weit überschätzte Anteil der Symptomatiker(m/w/d) – und bereits Ende März wäre demnach die Herdenimmunität erreicht gewesen, und das ist der (Haupt)grund, dass Reff = 1 war. Ok.

Dieser Moment, wenn Du stundenlang gegen ein Feuer kämpfst, und jetzt brennt es nur noch ein bisschen, und irgendwer klopft Dir auf die Schulter und sagt: „Du Trottel, das wäre ja auch von alleine ausgegangen!“.

DIESER Moment.

Aber egal, fürs Argument denken wir das zu Ende. Hypothese: die Covid-19-Welle hat Ende März ihren Höhepunkt erreicht. Diverse Schwankungen, Ungenauigkeiten und Daumenwerte mitgeschätzt, das war vor einem Monat. Bei einer geschätzten Virengenerationsdauer von vier Tagen (inzwischen vllt. weniger). Ok?

Erstens würde Reff weiterhin sinken. Und zwar von alleine. Ohne IRGENDwelche Schutzmaßnahmen, Kontaktsperren oder was-auch-immer, würde R ganz einfach sinken; 0,9; 0,8; 0,7 usw… . Nein, sagt die Statistik, tut es nicht. Die Kurve von Reff flacht ab.

Weiterhin, wenn R von alleine sinken würde, weil die Herdenimmunität erreicht wurde (oder evt. aus jahreszeitlichen Gründen), würden die massiven Maßnahmen, die NACH dem Peak eingeführt wurden, den natürlichen Effekt noch verstärken. Davon merkt man erst recht nichts.

Um die Hypothese zu stützen, dass die Epidemie vorbei sei und die ergriffenen Maßnahmen nutzlos, muss man also nicht nur erklären, warum die angewandten Mechanismen wie „Begrenzung großer Menschenmengen“, „social Distancing“ und „zu-hause-bleibing“, die bei anderen Virusepidemien funktionieren, dieses Virus nicht nur nicht bekämpfen, sondern sogar unterstützen. (Bei manchen Bränden schadet Feuer ja auch mehr, als es nutzt…).

Das erklärt aber keine/r. Das einzige, was man hoffen kann, ist, dass die Dunkelziffer sehr hoch ist, und man die tatsächliche Herdenimmunität doch sehr bald erreicht hat.

4 Gedanken zu “Mathe erklärt die Welt und macht Spaß

  1. Wenn ich die Grafik mache, sieht die so aus: https://imgur.com/a/jkELYg6

    Hab da auch schon einen Artikel dazu geschrieben, vor 10 Tagen („Es reicht“) – Du schreibst schön richtig, dass man daraus schwerlich herleiten kann, ob/inwiefern irgendwelche Maßnahmen helfen.

    Was man aber dank der großen Immunoligisierungsstudien, sei es Heinsberg (13%) wie NY State (ebenso ~13%) oder NY City (20%), mal angucken kann ist die _tatsächliche_ Mortalität.

    Und weil’s um Menschenleben geht, nehmen wir mal an, dass unsere gemessenen Zahlen um den Faktor 3 falsch liegen, also nur 4% respektive 7% bereits infiziert waren.

    NYC hat es „schlimm“ getroffen, 12.000 Tote. Lassen wir das Virus durchlaufen – 7% * etwa 15 = 100% – hätten wir also 12.000 * 15 = 180.000 Tote in NYC alleine, was ja unser Gesundheitsminister gerne als Panikmach-Beispiel mit Massengräbern bringt.

    NYC hat 8,4 Mio. Einwohner, wenn die im Schnitt 80 werden, sterben da sowieso 100.000 pro Jahr. Es ist stark anzunehmen, dass der weitaus größte Teil der Corona-Toten alt und gebrechlich ist, von daher wären 100.000 der 180.000 eh dieses Jahr gestorben.

    Die 80.000 dann halt bis kommenden Oktober.

    Mittel wir arithmetisch (das ist falsch, aber egal), bringen jedwede Maßnahmen 9 Monate Lebenszeit für 180.000 Menschen, also 135.000 Lebensjahre.

    Kosten tut das NY state (einfach googlen) wohl so 240 Milliarden, Hälfte davon wohl NYC, also 120 Milliarden / 135.000 Lebensjahre = rund $900.000 pro Lebensjahr.

    Und da ist dann die frage nicht, ob es Dir das wert wäre, Dein Leben. Die Frage ist, ob Du die Million Dollar hast. Hast Du nämlich eher nicht.

    Darüber müsste man reden.

    Da nützen Deichbruch- wie „das Haus brennt“ – Metaphern recht wenig, da in dem Fall – siehe meine Grafik, R eiert plusminus 1 rum; das *geht* also einmal durch die Bevölkerung – Dein Haus sowieso abbrennt. Nur langsamer.

    Wir haben jetzt recht weltweit gut 5 Wochen die gleichen „Maßnahmen“. Hat’s was gebracht? Ja, natürlich. Es sterben die Leute jetzt nicht alle bis Sommer, sondern halt bis 2022. Dafür hat jeder Überlebende $12.000 neue Staatsschulden. Toll.

    Machen wir ruhig weiter, dann sind’s halt mehr Schulden.

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  2. Nagut, der Sandsackvergleich ist, dass das Wasser weiterhin durch das Gesamtbauwerk sickert, also Deich + Sandsäcke, es dauert halt länger, bis das Ding versagt, und es besteht die Möglichkeit, dass vor dem Versagen das Wasser zurückgeht.

    Und ja, 12.000 $ Staatsschulden sind mir mein Leben wert. 😉

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  3. Zu beachten ist, dass R gegen 1 geht je langsamer die Infiziertenzahlen abnehmen. R = 1 ob sich knstant jeden Tag 1000 oder nur 1 Person anstecken.

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