Mathe erklärt die Welt: die Reproduktionszahl

„Flatten the Curve“ ist ja ein beliebtes Schlagwort, aber es interessiert vllt. ein wenig, den mathematischen Hintergrund zu verstehen.

Nehmen wir mal ein generisches Virus, das Menschen infiziert. Die durchschnittliche Zeit, in der das Virus im Menschen ist, betrage 20 Tage (also inklusive Inkubationszeit). In dieser Zeit kann es durchschnittlich auf drei andere Menschen übertragen werden. Dies passiert durchschnittlich etwa zehn Tage nach der Infektion des Erstinfizierten. Ok soweit? Die fürs Virus idealen Bedingungen sind, dass kein Mensch dagegen immun ist. Immunität kann angeboren (genetisch) sein, erworben (durch eine frühere Erkrankung mit demselben oder dem sehr ähnlichen Virus) oder künstlich (Impfung). Weiterhin, wenn ein Mensch damit schon infiziert ist, kann er nicht zweimal infiziert werden, bzw., er wird davon nicht kränker oder ansteckender. Man kann einen brennenden Heuhaufen ja auch nicht mit einem zweiten Streichholz noch heißer machen.

Ok, zu Anfang des Szenarios soll gelten: Niemand ist immun. Niemand ist bereits krank. Also wird jeder Mensch, auf dem das Virus übertragen kann, infiziert. Ob die Infektion ernst oder harmlos verläuft, soll sich nicht auf die Übertragungsrate auswirken, bzw., wir nehmen an, dass das in dem „durchschnittlich“ bereits eingerechnet ist. Wenn also der erste Virusträger drei andere infiziert, beträgt die Basisreproduktionszahl 

Ro = 3

Alle zehn Tage wird jeder Infizierte durchschnittlich drei weitere anstecken. Also am Anfang sind es einer, nach zehn Tagen vier (1+3*1), nach 20 dreizehn (1+3*1+3*3), allerdings wird bei 20 Tagen der erste Infizierte wieder gesund, so dass es eigentlich nur noch zwölf sind. Nach 30 Tagen sind es 12+3*3*3-3 = 36. Aber die Zahl der Neuinfizierten beträgt 3^n, wobei n die Anzahl der Tage durch zehn ist. Und da n im Exponenten steht, sagt man auch, das Wachstum ist exponential. Jetzt wird die Zahl der Infizierten und Genesenen immer weiter steigen, wodurch die Basisreproduktionszahl nicht mehr gilt: wenn z.B. ein Drittel der Bevölkerung krank ist oder schon krank war und dadurch Immunität erworben hat, gilt die Basisreproduktions zahl nicht mehr. Von den drei Personen, auf die das Virus übertragen wird, kann ein Drittel, also eine Person, nicht mehr infiziert werden, d.h., die maßgebliche Reproduktionszahl ist die Nettoreproduktionszahl

Rt = 3-1 = 2

Das Wachstum ist zwar immer noch exponential, aber die Infizierten verdoppeln alle zehn Tage ihre Zahl jetzt nur noch, statt sie zu verdreifachen.

Richtig toll ist es erst, wenn zwei Drittel der Bevölkerung immun sind, denn dann gilt:

Rt = 3-2 = 1

Rt=1 bedeutet, dass jeder Infizierter nur noch einen anderen Menschen ansteckt, und für jeden Neuinfizierten(m/w/d) eine andere Person(m/w/d) gesund wird. Die Krankheit verbreitet sich also nicht mehr exponential, sondern die Zahl der Kranken bleibt konstant, bzw. sogar kleiner, weil irgendwann Rt < 1 ist. Das bedeutet nicht, dass das Virus ausstirbt, oder das restliche Drittel komplett infiziert und dann ausstirbt, weil ja auch immer wieder neue Menschen geboren werden. Allerdings bleibt die Zahl der Neuinfektionen und Krankheitsfälle je Woche auf einem überschaubaren, mehr oder weniger konstanten Wert. Das ist das, was man „Herdenimmunität“ nennt.

Was passiert, wenn die Basisreproduktionszahl einen anderen Wert hat? Nun, je höher Ro ist, desto größer muss der Anteil der Immunen sein, bzw., der Anteil der Nicht-Immunen muss kleiner sein als der Kehrwert der Basisreproduktionszahl. Ist bspw. Ro=100, dürfen also weniger als 1% noch nicht immun sein. Oder umgekehrt, 99% müssen immun sein. Beträgt die Basisreproduktionszahl nur Ro=1,1, so reichen 100*(1-1/1,1) = 9,1%. Bei Ro=2 entsprechend 50%.

Das sind jetzt relativ abstrakte Zahlen, aber das soll den Gedanken dahinter verdeutlichen.

Neben dem „klassischen“ Weg, sich zu immunisieren, nämlich das Virus zu bekommen, die Krankheit zu überleben und dann die passenden Antikörper zu kriegen, gibt es noch die Impfung (man kriegt eine abgeschwächte Form des Krankheitserregers, damit das Immunsystem die Antikörper bildet, ohne ernsthaft zu erkranken, injektiert), und angeborene Immunitätet, weil manche Menschen zufällig durch bestimmte Eigenschaft ihrer Zellmembranen nicht mit dem Virus „kompatibel“ sind. Außerdem die Heilimpfung, man kriegt die Antikörper von jemand oder etwas anderem injektiert, was aber nur die akute Krankheit heilt, aber keine Immunität herstellt.

Neben dem Anteil der Immunen können auch noch ander Faktoren die Reproduktionszahl beeinflussen, wie Wetter, Quarantäne, Hygienemaßnahmen wie Mundschutz, Medikamente, die die Krankheitsdauer und damit das Zeitfenster für die Viren verkürzen, sowie Medikamente, die die Vermehrung der Viren hemmen.

Was das Corona-Virus betrifft: es gibt noch keine Impfung, es gibt keine Kenntnisse über „angeborene“ Immunität, ob und wie das Wetter einen Einfluss hat, ist völlig unbekannt, und Medikamente gibt es auch nicht. Bzw., wenn, wüsste man nicht, welche.